Μελετώντας μια άσκηση του γνωστού γεωμέτρη Τσίντσιφα, και μετά από συζητήσεις με τον μαθηματικό Γιώργο Μπαλόγλου και τον μηχανολόγο Βασίλη Γιαννάτο, έπεσα πάνω σε μια ιδιαίτερη καμπύλη που είναι γνωστή από τα χρόνια της αρχαιότητας και ονομάζεται «κογχοειδής του Νικομήδη». Υπάρχουν πολλές σχετικές αναρτήσεις στο διαδίκτυο οπότε δεν θα επαναλάβω τα ίδια πράγματα, ωστόσο θαρρώ ότι βρήκα έναν απλό εποπτικό τρόπο να εξηγήσω αυτήν την καμπύλη. Για το σκοπό αυτό θα χρειαστούμε μια οριζόντια ευθεία, ένα σημείο εκτός της ευθείας και ένα ραβδί. Ας δούμε το πρακάτω σχήμα:
Εδώ η ευθεία μας ορίζεται από τα σημεία E, D, A, H, F και G, το σταθερό σημείο εκτός ευθείας είναι το P, και το ραβδί μας είναι το ευθύγραμμο τμήμα AB.
Τούτων δοθέντων, τοποθετούμε το ραβδί μας με το ένα άκρο να βρίσκεται επί της ευθείας και το στρέφουμε με κατεύθυνση προς το σημείο P. Μετακινώντας το άκρο που βρίσκεται επί της ευθείας (διατηρώντας το πάντα επί της ευθείας) και φροντίζοντας το ραβδί μας (ή η προέκτασή του) να διέρχεται από το σημείο P, το άλλο άκρο του ραβδιού σχηματίζει τους δύο κλώνους της «κογχοειδούς» του Νικομήδη. Ο επάνω κλώνος σχηματίζεται όσο το ραβδί μας παραμένει προς τη μεριά που βρίσκεται το σταθερό σημείο P, ενώ ο κάτω κλώνος σχηματίζεται όταν το ραβδί μας τοποθετείται στην άλλη πλευρά της ευθείας. Στο σχήμα που παραθέσαμε το ραβδί είναι τοποθετημένο στις θέσεις EE', DD', AB, FF', GG' στην πλευρά του επιπέδου στην οποία βρίσκεται το σταθερό σημείο P (πάνω κλώνος), και AC, HH' στην άλλη πλευρά του επιπέδου (κάτω κλώνος).
Η εξίσωση που περιγράφει την συγκεκριμένη καμπύλη είναι:
όπου a είναι η απόσταση του σταθερού σημείου P από την ευθεία (είναι το μήκος του AP) και d είναι το μήκος του ραβδιού (είναι το μήκος του AB). Μπορείτε να «παίξετε» με τα συγκεκριμένα μεγέθη κάνοντας κλικ στον παρακάτω σύνδεσμο:
όπου το αρχικό μήκος του ραβδιού είναι 5 και η απόσταση του σταθερού σημείου από την ευθεία είναι 1.
Είναι εντυπωσιακό ότι όταν μηδενίζουμε την απόσταση του σταθερού σημείου P από την ευθεία, η κογχοειδής εκφυλίζεται σε κύκλο, όπου ο επάνω κλάδος είναι το πάνω ημικύκλιο και ο κάτω κλάδος είναι το κάτω ημικύκλιο. Βασικά αυτό δεν συμβαίνει επειδή το a είναι μηδενικό, αλλά επειδή το a είναι πολύ μικρό σε σχέση με d.
Αντίστροφα, αν το a είναι πολύ μεγάλο σε σχέση με το d, οι δύο κλάδοι της κογχοειδούς εκφυλίζονται σε δύο παράλληες ευθείες.
Θα κλείσουμε εξηγώντας την παραπάνω εξίσωση. Στο σχήμα που ακολουθεί, η ευθεία μας είναι ο οριζόντιος άξονας των x, το σταθερό μας σημείο είναι το P, και το ραβδί μας είναι το ευθύγραμμο τμήμα AB:
Το σημείο B, δηλαδή το «ελεύθερο» άκρο του ραβδιού, είναι σημείο της κογχοειδούς. Ας μελετήσουμε τις καρτεσιανές συντεταγμένες του με βάση την απόσταση του σημείου P από την ευθεία, και το μήκος του ραβδιού AB. Για το σκοπό αυτό ας ονομάσουμε a την απόσταση του σημείου P από την ευθεία (τουτέστιν το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος PQ), και d το μήκος του ραβδιού (τουτέστιν το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος AB). Θα χρειαστούμε, επίσης, και το σημείο R που είναι η προβολή του σημείου B στον άξονα των x.
Έστω, λοιπόν, (x, y) οι συντεταγμένες του σημείου B, συνεπώς το x ισούται με το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος QR, ενώ το y ισούται με το μήκος του ευθυγράμμου τμήματος BR. Σύμφωνα με το Πυθαγόρειο θεώρημα, BR στο τετράγωνο συν AR στο τετράγωνο πρέπει να δίνει το τετράγωνο της υποτείνουσας AB, τουτέστιν d στο τετράγωνο. Όμως η AR είναι AQ συν QR. Το QR είναι ίσον με το ζητούμενο x, ενώ το AQ υπολογίζεται εύκολα από τις αναλογίες των ομοίων τριγώνων ABR και APQ. Αντικαθιστώντας όλα τα παραπάνω στην αρχική ισότητα του Πυθαγορείου, προκύπτει η εξίσωση που παραθέσαμε, όπου a είναι η απόσταση του σταθερού σημείου P από την ευθεία, και d είναι το μήκος του ραβδιού.
